题目 #14917
- UUID
30579c1b-d83d-4ab4-b185-3678ec2adfc2- 来源
- A中考/2026江苏中考期末数学试卷+答案255.pdf 第 2 页，bbox
[45.0, 176.5, 414.36, 282.45] - 题型 / 学科
- comprehensive / math / SENIOR
- 知识树
KT_SENIOR_MATH_STANDARD- 难度
- 难度 3 / 5 中等 · 多步骤
- QA 状态
- PUBLISHED 重试 0 次，得分 0.938
- 最终题 ID
7268
最终题干渲染（f_body 预览）
已知关于x的一元二次方程\(x^{2}\)−(k + 5)x + 6 + 2k = 0(k为常数)．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．
答案 / 解析
答案（f_answer）
(1) 证明：\(\Delta = (k+5)^2 - 4(6+2k) = k^{2} + 10k + 25 - 24 - 8k = k^{2} + 2k + 1 = (k+1)^2 \ge 0\)，故方程总有两个实数根；(2) k=0，另一根为2
解析（f_ways）
(1) 证明：对于方程\(x^{2}\)−(k + 5)x + 6 + 2k = 0，判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac = [-(k+5)]^2 - 4\cdot1\cdot(6+2k) = (k+5)^2 - 4(6+2k)\)。展开计算：\((k+5)^2 = k^{2} + 10k + 25\)，\(4(6+2k) = 24 + 8k\)。因此\(\Delta = k^{2} + 10k + 25 - 24 - 8k = k^{2} + 2k + 1 = (k+1)^2\)。由于任何实数的平方均非负，即\((k+1)^2 \ge 0\)对所有实数 k 成立，故\(\Delta \ge 0\)，方程总有两个实数根。
(2) 已知方程的一个根为 3，将 x=3 代入方程：\(3^2 - (k+5)\cdot3 + 6 + 2k = 0\)。计算：\(9 - 3k - 15 + 6 + 2k = 0\)，合并同类项：\((9 - 15 + 6) + (-3k + 2k) = 0\)，即\(0 - k = 0\)，解得 k=0。将 k=0 代入原方程得：\(x^{2}\)- 5x + 6 = 0。因式分解：(x-2)(x-3)=0，解得 x=2 或 x=3。已知一根为 3，则另一根为 2。
原图与资产（0）
该题没有裁出图片资产
审计记录
| 阶段 | 审计器 | 结果 | 得分 | 依据（简短） |
|---|---|---|---|---|
| STRUCTURE | structure-rule | PASS | 0.900 | |
| FORMULA | formula-auditor | PASS | 1.000 | |
| KNOWLEDGE | knowledge-auditor | WARN | - | |
| SOLVER | blind-solver | PASS | 1.000 | |
| CRITIC | critic | PASS | 1.000 | |
| VISION | vision-auditor | PASS | 0.900 | |
| SYMBOLIC | symbolic-auditor | WARN | 0.550 | |
| COHERENCE | coherence-auditor | FAIL | 0.950 | |
| QUALITY_GATE | quality-gate | FAIL | 0.938 | |
| SOLVER | blind-solver | PASS | 1.000 | |
| CRITIC | critic | PASS | 1.000 | |
| COHERENCE | coherence-auditor | PASS | 1.000 | |
| SYMBOLIC | symbolic-auditor | WARN | 0.550 | |
| AUTO_REPAIR_ATTEMPT | answer-repair | PASS | 1.000 | |
| AUTO_REPAIR | answer-repair | PASS | 1.000 | |
| VISION | vision-auditor | PASS | 0.950 |
知识点（0）
无
正式题库记录（t_question.f_id=7268）
- f_qkey
4db8dbbb2994978e8c797e95eddf60fc- f_style / 难度
- 4 / 2
- 入库题干
- 已知关于x的一元二次方程\(x^{2}\)−(k + 5)x + 6 + 2k = 0(k为常数)．
（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． - 入库答案
- (1) 证明：\(\Delta = (k+5)^2 - 4(6+2k) = k^{2} + 10k + 25 - 24 - 8k = k^{2} + 2k + 1 = (k+1)^2 \ge 0\)，故方程总有两个实数根；(2) k=0，另一根为2
- 入库解析
- (1) 证明：对于方程\(x^{2}\)−(k + 5)x + 6 + 2k = 0，判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac = [-(k+5)]^2 - 4\cdot1\cdot(6+2k) = (k+5)^2 - 4(6+2k)\)。展开计算：\((k+5)^2 = k^{2} + 10k + 25\)，\(4(6+2k) = 24 + 8k\)。因此\(\Delta = k^{2} + 10k + 25 - 24 - 8k = k^{2} + 2k + 1 = (k+1)^2\)。由于任何实数的平方均非负，即\((k+1)^2 \ge 0\)对所有实数 k 成立，故\(\Delta \ge 0\)，方程总有两个实数根。 (2) 已知方程的一个根为 3，将 x=3 代入方程：\(3^2 - (k+5)\cdot3 + 6 + 2k = 0\)。计算：\(9 - 3k - 15 + 6 + 2k = 0\)，合并同类项：\((9 - 15 + 6) + (-3k + 2k) = 0\)，即\(0 - k = 0\)，解得 k=0。将 k=0 代入原方程得：\(x^{2}\)- 5x + 6 = 0。因式分解：(x-2)(x-3)=0，解得 x=2 或 x=3。已知一根为 3，则另一根为 2。
事件
| 时间 | 阶段 | 级别 | 消息 |
|---|---|---|---|
| 2026-09-23 05:13:26 | PUBLISH | INFO | 已发布 t_question.f_id=7268 qkey=4db8dbbb2994978e8c797e95eddf60fc |
| 2026-09-23 05:13:26 | QA | INFO | QA: PASS (score=0.938) |
| 2026-09-23 05:02:20 | FORMULA | WARN | 公式转换未确认，保留原文本: stem |