题目 #21441

题目要求找出满足 √2 < x < 2 的一个无理数。已知 √2 ≈ 1.414，因此需要找一个大于 1.414 且小于 2 的无理数。考虑 √(1.\(5^2\)) = √2.25 = 1.5，但 1.5 是有理数。考虑 √(1.\(8^2\)) = √3.24 = 1.8，也是有理数。实际上，任何在 (√2, 2) 区间内的非完全平方数的平方根都是无理数。例如，取 x =\(\sqrt{1.6}\)=\(\sqrt{8/5}\)= 2\(\sqrt{2/5}\)，由于 2/5 不是完全平方数，故\(\sqrt{2/5}\)是无理数，因此 2\(\sqrt{2/5}\)也是无理数。验证大小：√2 ≈ 1.414，√1.6 ≈ 1.265，不满足。重新考虑：取 x =\(\sqrt{1.9}\)，因为 1.9 不是完全平方数，所以 √1.9 是无理数。比较：√2 ≈ 1.414，√1.9 ≈ 1.378，仍小于 √2。错误。应取大于 2 的数开方？不对。正确思路：在 (√2, 2) 区间内，取一个无理数，例如 3/2 = 1.5 是有理数，不行。考虑\(\sqrt{9/4}\)= 3/2 = 1.5，有理数。考虑\(\sqrt{16/9}\)= 4/3 ≈ 1.333 < √2。考虑\(\sqrt{25/16}\)= 5/4 = 1.25 < √2。考虑\(\sqrt{49/25}\)= 7/5 = 1.4 < √2。考虑\(\sqrt{100/49}\)= 10/7 ≈ 1.428 > √2 ≈ 1.414，且 10/7 < 2，但 10/7 是有理数。需要无理数。取 x =\(\sqrt{10/7}\)，因为 10/7 不是完全平方数，所以\(\sqrt{10/7}\)是无理数。验证大小：\(\sqrt{10/7}\)= √1.428... ≈ 1.195，小于 √2。错误。正确方法：直接取一个已知无理数，如 √2 本身不满足（严格大于），取 √3 ≈ 1.732，满足 √2 < √3 < 2，且 √3 是无理数。因此，一个满足条件的无理数是 √3。